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FAQ 013 E-mail

Wie muß man sich Gravitationswellen vorstellen?


Sich Gravitationswellen "plastisch" vorzustellen ist gar nicht so leicht, denn wenn wir uns als dreidimensional denkende Wesen die Raumzeit als vierdimensionale Mannigfaltigkeit kaum vorstellen können, können wir auch nicht ohne weiteres nachvollziehen, daß die Raumzeit unter gewissen physikalischen Umständen auch "Wellen schlagen" kann. Aber sie tut es!!! – z. B.

 

a) bei der Explosion einer Supernova,

 

b) bei Doppelsternsystemen, d. h. bei zwei Sternen, die sich um ihren gemeinsamen Schwerpunkt bewegen; durch die Abstrahlung von Gravitationswellen verliert dieses System an Energie und dadurch verringert sich der Abstand zwischen beiden Sternen, bis sie ineinander stürzen, und

 

c) bei der Kollision von zwei supermassiven Schwarzen Löchern, die sich auch umkreisen.

Daß hierbei die umgebende Raumzeit, die solche Objekte umgibt, aus dem Takt kommt und zyklisch/periodisch verzerrt wird, sollte uns jetzt an dieser Stelle nicht mehr wundern, oder?

 

Ein Bild von den Gravitationswellen kann man sich annähernd machen, wenn man an einen Stein denkt, der in einen Teich mit einer absolut ruhigen Wasseroberfläche wirft. Sobald der Stein ins Wasser eingetaucht ist, bilden sich um die Eintauchstelle konzentrische Wasserwellen, deren Amplitude zum Ufer hin langsam abflacht. Im Internet können Sie sehr schöne simulierte Bilder von Gravitationswellen (NASA) sehen, die von zwei sich umkreisenden Schwarzen Löchern emittiert werden. Beide haben starke Gravitationsfelder, die aufeinander wirken. Es entstehen Gravitationswellen, deren Stärke und Wellenlänge von den Massen der Schwarzen Löcher abhängt. Diese Gravitationswellen breiten sich im ganzen Universum aus.

 

Für diejenigen, die etwas mehr darüber wissen wollen:

Klären wir, was der Physiker unter "Gravitationswellen" meint bzw. wie kommt Einstein dazu, Gravitationswellen aus seinen berühmten Feldgleichungen für die relativistische Betrachtung der Gravitation vorauszusagen?

 

Schreiben wir dazu die Einsteinschen Feldgleichungen, wie sie von Albert Einstein in seiner Allgemeinen Relativitätstheorie formuliert hatte, in ihrer kompakteste Form – so sehen wir deutlich, was Sache ist:

 

R:< - 1/2 g:<R = - 6 T:<                 (1)

 

und lassen wir dabei die Kosmologische Konstante 7 weg. Vereinfacht ausgedrückt: Auf der linken Seite haben wir einen schönen Ausdruck, der die Geometrie der Raumzeit beschreibt (mit dem Ricci-Tensor als Verjüngung des Riemannschen Krümmungstensors, dem Metriktensor und dem Krümmungsskalar). Auf der rechten Seite steht die "Quelle" (nämlich die Masse), die diese Geometrie beeinflußt. Eigentlich handelt es sich um eine gegenseitige Wechselwirkung: Die Raumzeit sagt der Masse, wie sie sich zu bewegen hat, und die Masse schreibt der Raumzeit vor, wie sie sich zu krümmen hat. (Achten Sie vorerst nicht auf die Naturkonstante 6). Die obige Gleichung (1) ist eine Tensorgleichung mit 10 gekoppelten nichtlinearen Differentialgleichungen für das Potential des Gravitationsfeldes (Metriktensor) g:<. Wie man zu diesen berühmten Einsteinschen Feldgleichungen gelangt, erfordert viel Tensorgymnastik und soll hier nicht näher erklärt werden – das können Sie ja im Internet oder in einem Lehrbuch über Allgemeine Relativitätstheorie nachlesen.

 

Um in die Natur der Gravitationswellengleichung einzutauchen, schlagen wir denselben Weg wie Einstein ein und gehen von den quellenfreien Feldgleichungen (1) aus, d. h. die rechte Seite von der oberen Einsteinschen Tensorgleichung soll Null sein. Danach konzentrieren wir uns nur auf den Metriktensor (das Potential des Gravitationsfeldes) und stellen uns dazu eine sehr kleine Störung des Minkowski-Raumes vor. Da wir hier nur ein Näherungsverfahren anwenden, erleichtert uns diese Annahme die Zerlegung des Metriktensors g:< in zwei Teile:

g:<  =  0:<  +  h:<             (2)

 

[Keine Sorge, ich will dies nicht ausführlich durchrechnen, sondern den Weg zu den Gravitationswellen grob skizzieren!]

 

0:< ist der Metriktensor des Minkowski-Raumes (für gravitationsfreie Verhältnisse) und h:< soll einen sehr kleinen Anteil darstellen, der die Störung des Minkowski-Raumes beschreibt. Weil diese Störung sehr klein sein soll, muß gelten

 

h:<  << 1              (3)

 

Damit und über die Christoffelsymbole und den Ricci-Tensor, sowie mit Hilfe einiger trickreichen Abkürzungen bezüglich der vorkommenden Ableitungen 1. und 2. Ordnung erhalten wir endlich eine sehr schöne (Wellen-)Gleichung, nämlich:

 

o h:<  = 0              (4)

 

wobei o der sogenannte "Quabla"-Operator oder lorentzinvariante D'Alembert-Operator. Ursprünglich kommt der D'Alembert-Operator aus der Elektrodynamik und ergibt sich bei der Herleitung der Wellengleichung.

 

Der Ausdruck in (4) enthält die entkoppelten linearisierten Feldgleichungen und ihre Lösungen sind ebene Wellen, eben die gesuchten Gravitationswellen, die wir so schreiben können:

 

h:<  =  g:< exp(ik"x")     (5)

 

 

Für den Wellenzahlvektor k" muß folgendes gelten: k" k" = 0


Das ist die relativistische Energie-Impulsbeziehung für masselose Teilchen – in diesem Fall für das Graviton. In einer quantisierten Theorie wird h:< zur Wellenfunktion der Gravitonen und man kann anhand ihres Transformationsverhaltens zeigen, daß das Graviton einen Spin 2 mit sich trägt (Spin = Eigendrehimpuls).

 

Fazit: Wird die Raumzeit an einem Punkt ihrer Struktur aus ihrem wohlverdienten Schlaf durch irgendeine massive Störung lieblos geweckt, dann fängt das Raumzeit-"Gitter" an, an diesem Punkt zu zittern und es werden Gravitationswellen entsprechend der Störungsintensität emittiert, die sich über das ganze Raumzeitgitter (Universum) ausbreiten. Die Emission von Gravitationswellen hält weiter an, solange die Störung ihr Unwesen treibt. Hört sie auf, dann "beruhigen" sich die entsprechenden, von den Gravitationswellen gestreiften Raumzeitpunkte wieder und diese kehren wieder in ihre Normallage zurück.

 

 


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